Definizione di GRUPPO e CAMPO

Eccoci qua! di nuovo insieme Quest'oggi Brainyresort ti spiegherà cosa vogliono dire le parole GRUPPO e CAMPO.

Iniziamo!

Gruppo:

E' un insieme non vuoto che possiede al suo interno un operazione binaria (prodotto o somma), che soddisfi le proprietà (assiomi) precedentemente dette.

Un operazione binaria non è altro che una funzione che presi due elementi appartenenti allo stesso insieme ti restituisce un elemento di quell'insieme; matematicamente parlando possiamo scrivere:

Consideriamo l'operazione binaria "" e $L$ il nostro insieme, a questo punto diremo che

: $L \times L \Rightarrow L$ ( $L \times L$ non è altro che l'insieme delle coppie di numeri)

Possiamo quindi concludere la definizione:

Un GRUPPO è una struttura algebrica formata da un insieme $G$ avente un'operazione binaria che ad ogni coppia di elementi $a,b$ , associa un elemento che possiamo chiamare $a$ $b$ continuando a rispettare gli assiomi precedentemente detti ( proprietà associativa, elemento neutro ed esistenza di un inverso).

Per rendere il tutto più chiaro possiamo fare quest'esempio:

In $Z$ $\exists$ operazione binaria di somma, ovvero:

$+ : Z \times Z \rightarrow Z$

$(a,b) \mapsto a+b$

Campo:

E' una struttura algebrica formata da un insieme non vuoto che possiede al suo interno due operazione binarie, che sono il prodotto e la somma, le quali godono delle solite proprietà appena citate. Non c'è altro da aggiungere sulla definizione di CAMPO, perchè una volta capita quella di GRUPPO risulta automatico capire anche questa .

Per quanto riguarda gli insiemi da noi conosciuti diciamo:

1) $\left (\mathbb{Z},+ \right )\rightarrow$ è un GRUPPO

2) L'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ non è un GRUPPO perchè non contiene i numeri negativi.

3) In $\mathbb{Q}$ esistono operazioni di somma e prodotto e quindi è un CAMPO (Deve ringraziare la proprietà DISTRIBUTIVA per ciò ).

Inoltre sapendo che:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

possiamo dedurre che $\mathbb{R}$ è un CAMPO COMPLETO (eredita tutte le proprietà)

$\mathbb{R}$ completo vuol dire che i numeri reali corrispondono all'insieme dei punti sulla retta:

$\mathbb{R}$ completo $\leftrightarrow$ { Numeri reali } $\leftrightarrow$ { punti sulla retta }

I numeri $\mathbb{R}$ sono continui (ricordi la retta reale?) a differenza dei numeri $\mathbb{Q}$ (razionali) che sono puntini tutti staccati tra loro.

Siete pronti per il prossimo articolo!