Definizione di GRUPPO e CAMPO

Eccoci qua! di nuovo insieme  Quest'oggi Brainyresort ti spiegherà cosa vogliono dire le parole GRUPPO e CAMPO.

Iniziamo!

Gruppo: 

E' un insieme non vuoto che possiede al suo interno un operazione binaria (prodotto o somma), che soddisfi le proprietà (assiomi) precedentemente dette.

Un operazione binaria non è altro che una funzione che presi due elementi appartenenti allo stesso insieme ti restituisce un elemento di quell'insieme; matematicamente parlando possiamo scrivere:

Consideriamo l'operazione binaria "" e il nostro insieme, a questo punto diremo che

 :  ( non è altro che l'insieme delle coppie di numeri)

Possiamo quindi concludere la definizione:

Un GRUPPO è una struttura algebrica formata da un insieme avente un'operazione binaria  che ad ogni coppia di elementi , associa un elemento che possiamo chiamare continuando a rispettare gli assiomi precedentemente detti ( proprietà associativa, elemento neutro ed esistenza di un inverso).

Per rendere il tutto più chiaro possiamo fare quest'esempio:

In operazione binaria di somma, ovvero:

Campo:

E' una struttura algebrica formata da un insieme non vuoto che possiede al suo interno due operazione binarie, che sono il prodotto e la somma, le quali godono delle solite proprietà appena citate. Non c'è altro da aggiungere sulla definizione di CAMPO, perchè una volta capita quella di GRUPPO risulta automatico capire anche questa .

Per quanto riguarda gli insiemi da noi conosciuti diciamo:

1)  è un GRUPPO

2) L'insieme dei numeri naturali  non è un GRUPPO perchè non contiene i numeri negativi.

3) In  esistono operazioni di somma e prodotto e quindi è un CAMPO (Deve ringraziare la proprietà DISTRIBUTIVA per ciò ).

Inoltre sapendo che:

possiamo dedurre che  è un CAMPO COMPLETO (eredita tutte le proprietà)

 completo vuol dire che i numeri reali corrispondono all'insieme dei punti sulla retta:

 completo  { Numeri reali }  { punti sulla retta }

I numeri  sono continui (ricordi la retta reale?) a differenza dei numeri  (razionali) che sono puntini tutti staccati tra loro.

Siete pronti per il prossimo articolo! 

Facebooktwittergoogle_pluspinterestlinkedin