Equazioni relative all'energia interna

Allo stesso modo dell'articolo equazioni relative all'entropia possiamo ricavare attraverso le equazioni di Maxwell le espressioni dell'energia interna. Iniziamo!

  • Energia libera in funzione delle variabili T e v

Adesso considerando che , , utilizzando la 3° equazione di Maxwell ( qua per vedere le equazioni) e sapendo che possiamo scrivere (ricordando dall'articolo inerente le equazioni dell'entropia che ) :

Quindi possiamo riscrivere come:

Facciamo alcune considerazioni sulla relazione appena trovata:

Notiamo che rispetto all'espressione dell'energia libera che si ricava dalla teoria cinetica molecolare dei gas ideali (vedi qui) è presente un termine in più. Quindi attraverso opportune considerazioni, ovvero mettendoci in condizioni di gas ideale, dovremmo riuscire a ricavare l'energia libera di gas ideale. Osservando l'espressione ci accorgiamo che ciò appena detto accade se il termine (in caso di gas ideale) fosse uguale a ; Proviamo a dimostrarlo:

Sappiamo che:

  1. che nel caso di gas ideale diventa
  2. che nel caso di gas ideale diventa 

Quindi otteniamo che:

C.V.D

In questo modo il termine si annulla e otteniamo la relazione che conosciamo e che lega l'energia interna di un gas ideale con la temperatura e il suo calore specifico a volume costante.

  • Energia interna in funzione delle variabili T e P

Utilizzando lo stesso metodo possiamo ricavare ; esiste però, in questo caso, un modo più semplice e veloce. Per non rendere noiosa e ripetitiva la lettura mostreremo il secondo:

Utilizziamo la relazione sopra trovata:

e sostituendo ad essa l'espressione della variazione di volume in funzione di T e P (espressione ricavata qui) che risulta essere:

otteniamo (considerando che ) :

  • Energia interna in funzione delle variabili P e v

I procedimenti possibili (che omettiamo questa volta) per arrivare alla relazione che regola sono sempre gli stessi, con le dovute sostituzioni e con un po' di pazienza si arriva al seguente risultato:

Risultato che si sarebbe potuto ottenere ancora più velocemente con le seguenti relazioni:

Per concludere è necessario dire che:

Oltre alle espressioni sopra ricavate è possibile valutare l'energia libera a partire dall'entalpia :

 

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