Esempio di polinomio (non algebrico)

Iniziamo subito con l'esempio, senza troppe spiegazioni a "parole" in quanto è più semplice risolvere l'esercizio che spiegarlo! 

z^{3}=\overline{z}

Per prima cosa riscriviamo z^{3} con la rappresentazione cartesiana:

z=\rho \cdot e^{i\theta} \Rightarrow z^{3}=\rho^{3} \cdot e^{i3 \theta}

Adesso tocca a \overline{z}:

\overline{z}=\rho \cdot e^{-i\theta}

A questo punto possiamo riscrivere il polinomio così:

z^{3}=\overline{z} \Leftrightarrow \rho^{3} \cdot e^{i3\theta}=\rho \cdot e^{-i\theta}

Risolviamo la 1° equazione:

Che ha come soluzioni: 0,1,-1 con -1 da togliere in quanto []

Quindi avremo che:

Per \rho=0 :

z=0

Per \rho=1 dobbiamo risolvere la seconda equazione del sistema per trovare \theta 

Quindi risolviamo la 2° equazione:

3\theta=-\theta+2k\pi \rightarrow 4\theta=2k\pi \rightarrow \theta= \frac{2k\pi}{4}

Abbiamo quindi:

Che ci da 4 soluzioni:

z_0=1\cdot e^{i0}=1

z_1=1\cdot e^{i\frac{\pi}{2}}=i

z_2=1\cdot e^{i\pi}=-1

z_3=1\cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}= -i

A queste soluzioni dobbiamo inoltre aggiungerci z_4=0 che abbiamo ottenuto dalla soluzione della prima equazione \rho=0

Area

Ed ecco finita la risoluzione! Semplice vero? 

Vi aspettiamo al prossimo articolo 

Facebooktwitterpinterestlinkedin