I numeri complessi

Siamo dunque all'inizio di un grande percorso che vi porterà a conoscere a fondo il mondo dei numeri complessi 

Per iniziare è necessario introdurre l' UNITA' IMMAGINARIA che andremo a chiamare i.

i è definito come segue:

i^{2}=-1 \rightarrow i=\sqrt{-1}

Proprietà

1) 

Se vogliamo risolvere x^{2}=-5 procediamo così:

x=\pm \sqrt{-5}=\pm\sqrt{5} \cdot \sqrt{(-1)}=\pm\sqrt{5} \cdot i

2) 

i^2=-1

i^3=i^2\cdot i=-i

i^4=i^2\cdot i^2 = 1

i^5=i^4\cdot i= i

ecc..

Mini-esercizio:

i^{15}=?

Come risolverlo? Dobbiamo dividere l'esponente in vari temini già noti così da scomporre il probelma in parti più semplici; in questo caso sappiamo che i^{4}=1 quindi possizmo scrivere: i^{15} come il prodotto di 3 termini i^4 ed un termine i^3:

i^{15} = i^4 \cdot i^4 \cdot i^4 \cdot i^3

Quinidi il risultato è semplicemente i^3=-i

Un metodo più immediato per ottenere la soluzione è quello di dividere l'esponente per 4 ed estrarre dalla divisione il resto; il risultato è semplicemente i elevato al resto ottenuto.

\frac{15}{4}=3 con resto di 3; quindi avremo:

i^{15}=i^3=-i

Mini-esercizio 2 :

i^{1571}=?

\frac{1571}{4}=392 con resto di 3; quindi avremo:

i^{1571}=i^3=-i

 

Una volta imparato a "maneggiare" l'unità immaginaria spingiamoci oltre, nello studio di un insieme numerico più grande che ci permetta di svolgere calcoli più elaborati.

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