I numeri complessi

Siamo dunque all'inizio di un grande percorso che vi porterà a conoscere a fondo il mondo dei numeri complessi 

Per iniziare è necessario introdurre l' UNITA' IMMAGINARIA che andremo a chiamare $i$.

$i$ è definito come segue:

$i^{2}=-1 \rightarrow i=\sqrt{-1}$

Proprietà

1) 

Se vogliamo risolvere $x^{2}=-5$ procediamo così:

$x=\pm \sqrt{-5}=\pm\sqrt{5} \cdot \sqrt{(-1)}=\pm\sqrt{5} \cdot i$

2) 

$i^2=-1$

$i^3=i^2\cdot i=-i$

$i^4=i^2\cdot i^2 = 1$

$i^5=i^4\cdot i= i$

ecc..

Mini-esercizio:

$i^{15}=?$

Come risolverlo? Dobbiamo dividere l'esponente in vari temini già noti così da scomporre il probelma in parti più semplici; in questo caso sappiamo che $i^{4}$=1 quindi possizmo scrivere: $i^{15}$ come il prodotto di 3 termini $i^4$ ed un termine $i^3$:

$i^{15} = i^4 \cdot i^4 \cdot i^4 \cdot i^3$

Quinidi il risultato è semplicemente $i^3=-i$

Un metodo più immediato per ottenere la soluzione è quello di dividere l'esponente per 4 ed estrarre dalla divisione il resto; il risultato è semplicemente $i$ elevato al resto ottenuto.

$\frac{15}{4}=3$ con resto di $3$; quindi avremo:

$i^{15}=i^3=-i$

Mini-esercizio 2 :

$i^{1571}=?$

$\frac{1571}{4}=392$ con resto di $3$; quindi avremo:

$i^{1571}=i^3=-i$

 

Una volta imparato a "maneggiare" l'unità immaginaria spingiamoci oltre, nello studio di un insieme numerico più grande che ci permetta di svolgere calcoli più elaborati.