I numeri complessi

Cominciamo con alcune osservazioni:

Notiamo che una semplice equazione di secondo grado con e con < 0 è composta da una parte reale (ovvero numeri rappresentabili senza l'unità immaginaria) e da una parte immaginaria.

Abbiamo quindi bisogno di un nuovo insieme che contenga al suo interno numeri reali e numeri immaginari che andremo a chiamare .

Un numero complesso si scrive nella forma:

Dove:

    PARTE REALE DI

   PARTE IMMAGINARIA DI

Quindi il numero complesso è l'insieme delle 2 parti.

ESEMPIO:

(senza !)

Altre osservazioni :

Un numero reale lo identifico con un numero complesso la cui parte immaginaria è uguale a 0.

Adesso che abbiamo finito di spiegare come è composto un numero complesso, immergiamoci nelle sue proprietà quando si ritrova a "competere" in alcune operazioni 

In  esistono operazioni di somma e prodotto.

Quindi se:

e

Allora:

SOMMA =

PRODOTTO =

{Nel passaggio che comprende il segno meno è dato da  }

ESEMPIO:

Somma:

Prodotto:

ESEMPIO 2:

Utile osservazione:

 Perchè il prodotto è commutativo!

Adesso ritorniamo un attimo al discorso di campo e gruppo, secondo voi è un campo o un gruppo?

  è un CAMPO 

In particolare:

e

Piccole, ma utili, precisazioni:

ZERO= --> elemento neutro della SOMMA

UNO= --> elemento neutro della MOLTIPLICAZIONE

Le proprietà dei numeri  si ereditano in 

Infine in  non esiste una RELAZIONE D'ORDINE (ovvero non possiamo dire se un numero è più grande di un altro) quindi andremo a guadagnare sulle equazioni ma PERDIAMO LE DISEQUAZIONI.

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