Il gas ideale

Un gas ideale è caratterizzato dal fatto che le molecole che lo compongono non interagiscono tra loro e dunque la loro energia interna è facilmente calcolabile in base alla legge di equipartizione.

L’equazione di stato è :

$Pv=RT$

L’energia interna dipende solo dalla temperatura $[u=u(T)]$ e

$\displaystyle du=c_vdT$
$\displaystyle c_v=\frac{du}{dT}=c_v(T)$

Se invece partiamo dalla seguente relazione:$du=Tds-d(Pv)+vdP$, otteniamo $dh=Tds+vdP$, dove $h=u+Pv$ è l’entalpia specifica. Poiche$Pv=RT$ otteniamo $h=u+RT$ e dunque anche l’entalpia è funzione della sola temperatura, cioè:

$\displaystyle dh=c_pdT$

$\displaystyle c_p=\frac{dh}{dT}=c_p(T)$

Dove $c_p=c_v+R$ è il calore specifico a pressione costante del gas ideale.

Grazie alle relazioni sopra esposte possiamo trovare l’espressione generale per il calcolo della variazione di entropia:

$\displaystyle du=c_vdT=Tds-Pdv \Rightarrow ds=c_v \frac{dT}{T}+R \frac{dv}{v} \Rightarrow \int_{T_i}^{T_f} c_v \frac{dT}{T}+ \int_{v_i}^{v_f} R \frac{dv}{v} \Rightarrow$

$\displaystyle \Delta s=c_vln(\frac{T_f}{T_i})+Rln(\frac{v_f}{v_i})$

Allora stesso modo possiamo ottenere $\Delta s=\Delta s(T,P)$:

$\displaystyle dh=c_pdT=Tds+vdP \Rightarrow ds=c_p\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P} \Rightarrow$

$\displaystyle \Delta s= c_pln(\frac{T_f}{T_i})-Rln(\frac{P_f}{P_i})$

Descriviamo adesso alcune delle trasformazioni principali che avvengono nei sistemi TD:

Trasformazione isoterma

Una trasformazione isoterma, ovvero a T costante, si può immaginare che abbia luogo in modo reversibile facendo espandere molto lentamente il gas contenuto in un pistone circondato da una riserva termica.

$\displaystyle du=c_v\Delta T=0$

Quindi otteniamo :

$\displaystyle\delta q + \delta w=0 \Rightarrow \delta q=-\delta w$

Si trova di conseguenza che:

$\displaystyle q=-w= \int_{v_i}^{v_f} Pdv=RT\int_{v_i}^{v_f} \frac{dv}{v}=RTln(\frac{v_f}{v_i})=RTln(\frac{P_i}{P_f})$

Adesso notiamo che il calore Q entrante nel sistema è uguale al calore $Q_{RT}$ uscente dalla riserva termica e quindi la variazione di entropia risulta essere nulla come ci aspettavamo in quanto è previsto tale risultato per tutti i processi reversibili:

$\displaystyle \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T}=-Rln(\frac{v_f}{v_i})=-\Delta s$

Trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica (senza scambio di calore) si può immaginare che abbia luogo in modo reversibile facendo espandere molto lentamente il gas contenuto in un pistone isolato termicamente; in questo caso avremo che $\delta q =0$. Quindi otteniamo:

$\displaystyle du=\delta w \Rightarrow c_vdT=-Pdv=-RT\frac{dv}{v} \Rightarrow \frac{dT}{T}=-\frac{R}{c_v}\frac{dv}{v} \Rightarrow$

$\displaystyle c_vln(\frac{T_f}{T_i})=Rln(\frac{v_f}{v_i})$

Adesso considerando che $R=c_p-c_v$ definiamo:

$\displaystyle\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_v+R}{c_v}=1+\frac{R}{c_v}$

Dalla quale otteniamo:

$\displaystyle ln(\frac{T_f}{T_i})=-(\gamma -1)ln(\frac{v_f}{v_i})=ln(\frac{v_i}{v_f})^{\gamma -1}$

Notiamo che eliminando i logaritmi naturali a destra e sinistra otteniamo che:

$\displaystyle Tv^{\gamma -1}= cost$

Da questa formula applicando l’equazione di stato dei gas ideali possiamo ottenere:

$\displaystyle \frac{T}{P^{(\gamma -1)/(\gamma)}}=cost$

$\displaystyle Pv^{\gamma}=cost$

Adesso possiamo calcolare la variazione dell’energia interna e il lavoro scambiato:

$\displaystyle w=-\Delta u=-c_v\Delta T=-\frac{R}{\gamma -1} \Delta T= \frac{RT_i-RT_f}{\gamma -1}=\frac{P_iv_i-P_fv_f}{\gamma -1}=$

$\displaystyle \frac{RT}{\gamma -1}[1-(\frac{P_f}{P_i})^{(\gamma -1)/\gamma}]$

Trasformazione isocora

In una trasformazione isocora (a volume costante) reversibile il lavoro compiuto è nullo, cioè W=0. Quindi possiamo scrivere:

$\displaystyle du=c_v\Delta T=\delta q \Rightarrow \Delta u=q=c_v\Delta T$

Quindi se vogliamo calcolare la variazione di entropia procediamo scrivendo:

$\displaystyle \Delta s= c_vln\frac{T_f}{T_i}$

Una trasformazione isocora reversibile non è realizzabile realmente; ma possiamo realizzarla in modo irreversibile mettendo a contatto un cilindro inespandibile con una riserva termica a temperatura $T_f$: quindi avremo una variazione totale di entropia pari a:

$\displaystyle \Delta s_{tot}=\Delta s + \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T_f}+ c_vln(\frac{T_f}{T_i})=-c_v\Delta T + c_vln(\frac{T_f}{T_i})=$

$\displaystyle c_v[ln(1+\frac{\Delta T}{T_i})-\frac{\Delta T}{T_f}]$

Trasformazione isobara

In una trasformazione isobara (a P costante) reversibile si ha:

$\displaystyle dh=c_pdT \Rightarrow \Delta h=q=c_p\Delta T$

Inoltre poichè $\Delta u=c_v\Delta T$ otteniamo:

$\displaystyle w=\Delta u-q=c_v \Delta T-c_p \Delta T=\Delta T(c_v-c_p)=-R\Delta T$

Inoltre la variazione di entropia risulta essere:

$\displaystyle \Delta s=c_pln(\frac{T_f}{T_i})$

Una trasformazione isobara reversibile non è realizzabile realmente; ma possiamo realizzarla in modo irreversibile mettendo a contatto un cilindro mantenuto a pressione costante con una riserva termica a temperatura $T_f$: quindi avremo una variazione totale di entropia pari a:

$\displaystyle \Delta s_{tot}=\Delta s + \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T_f}+ c_pln(\frac{T_f}{T_i})=-c_p\Delta T + c_pln(\frac{T_f}{T_i})=$

$\displaystyle c_p[ln(1+\frac{\Delta T}{T_i})-\frac{\Delta T}{T_f}]$