Il gas ideale

Un gas ideale è caratterizzato dal fatto che le molecole che lo compongono non interagiscono tra loro e dunque la loro energia interna è facilmente calcolabile in base alla legge di equipartizione.

L’equazione di stato è :

Pv=RT

L’energia interna dipende solo dalla temperatura [u=u(T)] e

\displaystyle du=c_vdT
\displaystyle c_v=\frac{du}{dT}=c_v(T)

Se invece partiamo dalla seguente relazione:du=Tds-d(Pv)+vdP, otteniamo dh=Tds+vdP, dove h=u+Pv è l’entalpia specifica. PoichePv=RT otteniamo h=u+RT e dunque anche l’entalpia è funzione della sola temperatura, cioè:

\displaystyle dh=c_pdT

\displaystyle c_p=\frac{dh}{dT}=c_p(T)

Dove c_p=c_v+R è il calore specifico a pressione costante del gas ideale.

Grazie alle relazioni sopra esposte possiamo trovare l’espressione generale per il calcolo della variazione di entropia:

\displaystyle du=c_vdT=Tds-Pdv \Rightarrow ds=c_v \frac{dT}{T}+R \frac{dv}{v} \Rightarrow \int_{T_i}^{T_f} c_v \frac{dT}{T}+ \int_{v_i}^{v_f} R \frac{dv}{v} \Rightarrow

\displaystyle \Delta s=c_vln(\frac{T_f}{T_i})+Rln(\frac{v_f}{v_i})

Allora stesso modo possiamo ottenere \Delta s=\Delta s(T,P):

\displaystyle dh=c_pdT=Tds+vdP \Rightarrow ds=c_p\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P} \Rightarrow

\displaystyle \Delta s= c_pln(\frac{T_f}{T_i})-Rln(\frac{P_f}{P_i})

Descriviamo adesso alcune delle trasformazioni principali che avvengono nei sistemi TD:

Trasformazione isoterma

Una trasformazione isoterma, ovvero a T costante, si può immaginare che abbia luogo in modo reversibile facendo espandere molto lentamente il gas contenuto in un pistone circondato da una riserva termica.

\displaystyle du=c_v\Delta T=0

Quindi otteniamo :

\displaystyle\delta q + \delta w=0 \Rightarrow \delta q=-\delta w

Si trova di conseguenza che:

\displaystyle q=-w= \int_{v_i}^{v_f} Pdv=RT\int_{v_i}^{v_f} \frac{dv}{v}=RTln(\frac{v_f}{v_i})=RTln(\frac{P_i}{P_f})

Adesso notiamo che il calore Q entrante nel sistema è uguale al calore Q_{RT} uscente dalla riserva termica e quindi la variazione di entropia risulta essere nulla come ci aspettavamo in quanto è previsto tale risultato per tutti i processi reversibili:

\displaystyle \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T}=-Rln(\frac{v_f}{v_i})=-\Delta s

Trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica (senza scambio di calore) si può immaginare che abbia luogo in modo reversibile facendo espandere molto lentamente il gas contenuto in un pistone isolato termicamente; in questo caso avremo che \delta q =0. Quindi otteniamo:

\displaystyle du=\delta w \Rightarrow c_vdT=-Pdv=-RT\frac{dv}{v} \Rightarrow \frac{dT}{T}=-\frac{R}{c_v}\frac{dv}{v} \Rightarrow

\displaystyle c_vln(\frac{T_f}{T_i})=Rln(\frac{v_f}{v_i})

Adesso considerando che R=c_p-c_v definiamo:

\displaystyle\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_v+R}{c_v}=1+\frac{R}{c_v}

Dalla quale otteniamo:

\displaystyle ln(\frac{T_f}{T_i})=-(\gamma -1)ln(\frac{v_f}{v_i})=ln(\frac{v_i}{v_f})^{\gamma -1}

Notiamo che eliminando i logaritmi naturali a destra e sinistra otteniamo che:

\displaystyle Tv^{\gamma -1}= cost

Da questa formula applicando l’equazione di stato dei gas ideali possiamo ottenere:

\displaystyle \frac{T}{P^{(\gamma -1)/(\gamma)}}=cost

\displaystyle Pv^{\gamma}=cost

Adesso possiamo calcolare la variazione dell’energia interna e il lavoro scambiato:

\displaystyle w=-\Delta u=-c_v\Delta T=-\frac{R}{\gamma -1} \Delta T= \frac{RT_i-RT_f}{\gamma -1}=\frac{P_iv_i-P_fv_f}{\gamma -1}=

\displaystyle \frac{RT}{\gamma -1}[1-(\frac{P_f}{P_i})^{(\gamma -1)/\gamma}]

Trasformazione isocora

In una trasformazione isocora (a volume costante) reversibile il lavoro compiuto è nullo, cioè W=0. Quindi possiamo scrivere:

\displaystyle du=c_v\Delta T=\delta q \Rightarrow \Delta u=q=c_v\Delta T

Quindi se vogliamo calcolare la variazione di entropia procediamo scrivendo:

\displaystyle \Delta s= c_vln\frac{T_f}{T_i}

Una trasformazione isocora reversibile non è realizzabile realmente; ma possiamo realizzarla in modo irreversibile mettendo a contatto un cilindro inespandibile con una riserva termica a temperatura T_f: quindi avremo una variazione totale di entropia pari a:

\displaystyle \Delta s_{tot}=\Delta s + \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T_f}+ c_vln(\frac{T_f}{T_i})=-c_v\Delta T + c_vln(\frac{T_f}{T_i})=

\displaystyle c_v[ln(1+\frac{\Delta T}{T_i})-\frac{\Delta T}{T_f}]

Trasformazione isobara

In una trasformazione isobara (a P costante) reversibile si ha:

\displaystyle dh=c_pdT \Rightarrow \Delta h=q=c_p\Delta T

Inoltre poichè \Delta u=c_v\Delta T otteniamo:

\displaystyle w=\Delta u-q=c_v \Delta T-c_p \Delta T=\Delta T(c_v-c_p)=-R\Delta T

Inoltre la variazione di entropia risulta essere:

\displaystyle \Delta s=c_pln(\frac{T_f}{T_i})

Una trasformazione isobara reversibile non è realizzabile realmente; ma possiamo realizzarla in modo irreversibile mettendo a contatto un cilindro mantenuto a pressione costante con una riserva termica a temperatura T_f: quindi avremo una variazione totale di entropia pari a:

\displaystyle \Delta s_{tot}=\Delta s + \Delta s_{RT}=-\frac{q}{T_f}+ c_pln(\frac{T_f}{T_i})=-c_p\Delta T + c_pln(\frac{T_f}{T_i})=

\displaystyle c_p[ln(1+\frac{\Delta T}{T_i})-\frac{\Delta T}{T_f}]

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