Insiemi numerici

Questo articolo non ha lo scopo di spiegare in modo preciso e approfondito l'argomento, serve solo come piccola introduzione all'algebra lineare. Iniziamo!

Il concetto degli insiemi numerici nasce dalla necessità di fare alcuni calcoli con diversi tipi di numeri a seconda del conto da svolgere.

Gli insiemi numerici sono 5:

• Insieme dei numeri naturali:

  $\{\ 1,2,3,4,...\ \}$

• Insieme dei numeri relativi:

 $\{\ ...-2,-1,0,1,2,3,4,...\ \}$

• Insieme dei numeri razionali:

 $\{\frac{p}{q}:p,q \in Z,q\neq0\}$     $\frac{p}{q} \sim \frac{p'}{q'} \Leftrightarrow p \cdot q' = p' \cdot q$

La definizione di  non vuol dire altro che, brutalmente parlando , l'insieme di tutti i numeri ottenibili attraverso la divisione di due numeri, tenendo sempre presente che il denominatore dovrà sempre essere diverso da 0.

• Insieme dei numeri reali:

Gli elementi dell'insieme  possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta reale . 

Eccola qua!

I numeri reali sono tutti quei numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come per esempio il numero di nepero $e$= 2,71828...; in quest'insieme i numeri possono essere positivi, negativi o nulli.

• Insieme dei numeri complessi:

$\{ x+iy, x \in R, y \in R \}$

Definizione che verrà trattata in modo più chiaro nei prossimi articoli 

Possiamo concludere dicendo che:

$N\subset Z \subset Q \subset R \subset C$

Una volta elencati i 5 insiemi, accenniamo un brevissimo elenco delle proprietà della somma e del prodotto, per poi introdurre nel prossimo articolo le definizioni di CAMPO e GRUPPO, inoltrandoci sempre di più nel mondo dell'algebra lineare .

Proprietà della somma

1) Associativa

$(a+b)+c=a+(b+c)$

2) Commutativa

$a+b=b+a$

3) $\exists$ elemento neutro 0 tale che $\forall a$ abbiamo $a+0=a$

4) Opposta

$\forall a :\exists -a$ tale che $a+(-a)=0$

Proprietà del prodotto

1) Associativa

La stessa della somma, l'unica cosa che cambia è l'operazione

2) Commutativa

Stessa cosa che per la proprietà 1)

3) $\exists$ elemento neutro 1 tale che $\forall a$ abbiamo $a\cdot 1=a$

4) $\forall a$  $\neq 0$ $\exists a^{-1}=\frac{1}{a}$ tale che $a\cdot a{-1}=1$

Infine esiste una proprietà di collegamento tra il prodotto e somma:

La proprietà distributiva () che dice:

$a(b+c)=a \cdot b + a \cdot c$

Buttati nel prossimo articolo per scoprire cosa ti nasconde l'algebra lineare