La funzione esponenziale complessa

Let me start!

Abbiamo visto che:

e^{i\theta}=cos{\theta}+isin{\theta}

Adesso per definire la funzione esponenziale in , ci è utile eseguire questo scambio:

\theta \leftrightarrow y scrivendo quindi e^{iy}=cos{(y)}+isin{(y)}

Definiamo quindi la funzione esponenziale:

f exp in 

exp:

z=x+iy \mapsto e^{z}=e^{x+iy}=e^{x} \cdot e^{iy}=e^{x}\cdot (cos{(y)}+isin{(y)})

20150808_121140

Proprietà

1)

e^{z_1+z_2}=e^{z_1} \cdot e^{z_2}

2) 

L' exp è una funzione periodica di periodo 2\pi i cioè:

e^{z_1}=e^{z_2} \Leftrightarrow z_1=z_2+2k\pi i, k \in Z

Quindi se prendiamo 2 numeri complessi z_1 e z_2 possiamo scrivere:

\Rightarrow e^{z_1}=e^{z_2} \Leftrightarrow 

In particolare la funzione exp non è iniettiva in quanto periodica.

3)

L'immagine della funzione exp è:

 

\leftrightarrow "LOGARITMO COMPLESSO"

Sia w \in  FISSATO

Vogliamo risolvere l'equazione:

e^{z}=w quindi andremo a scrivere:

w=r \cdot e^{it} e z=x+iy

Successivamente riscriviamo la nostra equazione sostituendo i dati appena trovati:

e^{x+iy}=r\cdot e^{it} \rightarrow e^{x} \cdot e^{iy}=r \cdot e^{it}

\Leftrightarrow

Poiche:

|e^{z}|=|e^{x+iy}|=|e^{x}| \cdot |e^{iy}|=e^{x} essendo il modulo di |e^{iy}|=\sqrt{cos^{2}{(y)}+sen^{2}{(y)}}=1, \forall y

Soluzione:

           INFINITE SOLUZIONI
 

 

 

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