Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell si ottengono utilizzando l’invertibilità dell’ordine di derivazione (il cosidetto, in analisi matematica, teorema di Schwarz) delle funzioni TD rispetto alle loro variabili. Richiamando le relazioni già viste e derivandole successivamente otteniamo le volute equazioni:

$$T=\left(\frac{\delta u}{\delta s}\right)_v=\left(\frac{\delta h}{\delta S}\right)_P$$

$$P=-\left(\frac{\delta U}{\delta v}\right)_s=-\left(\frac{\delta a}{\delta V}\right)_T$$

$$S=-\left(\frac{\delta a}{\delta T}\right)_v=-\left(\frac{\delta g}{\delta T}\right)_P$$

$$V=\left(\frac{\delta h}{\delta p}\right)_s=\left(\frac{\delta g}{\delta P}\right)_T$$

Adesso non ci manca che derivare:

$$\frac{\delta^2 u}{\delta v\delta s}=\left[\frac{\delta}{\delta v}\left(\frac{\delta u}{\delta s}\right)_v\right]_s=\left[\frac{\delta}{\delta s}\left(\frac{\delta u}{\delta v}\right)_s\right]_v \Rightarrow\left(\frac{\delta T}{\delta v}\right)_s=-\left(\frac{\delta P}{\delta s}\right)_v$$

$$\frac{\delta^2 h}{\delta P\delta s}=\left[\frac{\delta}{\delta P}\left(\frac{\delta h}{\delta s}\right)_P\right]_s=\left[\frac{\delta}{\delta s}\left(\frac{\delta h}{\delta P}\right)_s\right]_P \Rightarrow\left(\frac{\delta T}{\delta P}\right)_s=\left(\frac{\delta v}{\delta s}\right)_P$$

$$\frac{\delta^2 a}{\delta v\delta T}=\left[\frac{\delta}{\delta v}\left(\frac{\delta a}{\delta T}\right)_v\right]_T=\left[\frac{\delta}{\delta T}\left(\frac{\delta a}{\delta v}\right)_T\right]_v \Rightarrow\left(\frac{\delta s}{\delta v}\right)_T=\left(\frac{\delta P}{\delta T}\right)_v$$

$$\frac{\delta^2 g}{\delta P\delta T}=\left[\frac{\delta}{\delta P}\left(\frac{\delta g}{\delta T}\right)_P\right]_T=\left[\frac{\delta}{\delta T}\left(\frac{\delta g}{\delta P}\right)_T\right]_P \Rightarrow\left(\frac{\delta s}{\delta P}\right)_T=-\left(\frac{\delta v}{\delta T}\right)_P$$

Grazie alle equazioni di Maxwell è possibile determinare la variazione dei potenziali termodinamici in funzione di altre variabili, come per esempio la temperatura e la pressione.

Relazioni matematiche utili per la determinazione della variazione dei potenziali possono essere:

• $$\left(\frac{\delta z}{\delta y}\right)_x=\left[\left(\frac{\delta y}{\delta z}\right)_x\right]^{-1}$$

• $$\left(\frac{\delta z}{\delta x}\right)_y\left(\frac{\delta x}{\delta y}\right)_z =\left[\left(\frac{\delta z}{\delta y}\right)_x\right]$$