Operazioni tra numeri complessi

Eccoci qua, come promesso, a parlare delle operazioni tra numeri complessi.

Iniziamo subito!

1) CONIUGIO

¯ : $\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$

$z\mapsto \overline{z}$ { cioè porta z a z coniugato }

Tutto questo formalismo matematico, praticamente non vuole dire altro che:

Se abbiamo un numero nella forma

$z=x+iy$

allora il numero a lui coniugato sarà

$\overline{z}=x-iy$

ESEMPIO:

$z=2+i3 \Rightarrow \overline{z}=2-i3$

Questa bellissima operazione ha anche delle proprietà altrettanto belle:

Proprietà del Coniugio:

1) Se faccio il coniugio due volte torno al punto di partenza

$\overline{(\overline{z})}=z$

Ciò che abbiamo appena fatto è, nell'ambito matematico, chiamata OPERAZIONE INVOLUTORIA ovvero che mi restituisce il valore iniziale.

2) Il coniugio della somma di due numeri complessi è uguale alla somma dei coniugi dei due numeri complessi

$\overline{(z_1+z_2)}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

3) Il coniugio del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei coniugi dei due numeri complessi

$\overline{(z_1\cdot z_2)}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

OSSERVAZIONE IMPORTANTE:

$z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in R$ { $\Leftrightarrow$ : se e soltanto se}

Dimostrazione:

$z=x+iy=x-iy=\overline{z}\Leftrightarrow iy=-iy\Leftrightarrow y=0$

Cioè:

$z=x+i0$

OSSERVAZIONE IMPORTANTE 2:

Cosa succede se faccio $z+\overline{z}$ ?

$z+\overline{z}= (x+iy)+(x-iy)=2x=2Re(z)$

Cosa succede se faccio $z-\overline{z}$ ?

$z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy=2iIm(z)$

2) MODULO

$|z|$ = Modulo di $z$

Se:

$z=x+iy \rightarrow \left | z\right |=\sqrt{x^2+y^2}$

$|z|$ rappresenta la lunghezza del vettore ( infatti $\sqrt{x^2+y^2}$ non è altro che il Teorema di Pitagora )

Proprietà del modulo:

1) Disuguaglianza triangolare

Il modulo della somma di due numeri complessi è $\leq$ del modulo dei due numeri sommati

2) Il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei numeri complessi

3) Collegamento modulo-coniugio

$\small \dpi{300} \small \dpi{130} z\cdot \overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=\left | z\right |^2$

Corollario:

$\small \dpi{130} z\cdot \overline{z}=\left | z\right |^2\Rightarrow z\cdot \left (\frac{\overline{z}}{\left | z\right |^2} \right )=1$

Cioè:

$\small \dpi{130} z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\left | z\right |^2}$

ESEMPIO di applicazione del corollario:

$z=2+i3$

$z^{-1}=\frac{1}{2+i3}=\frac{2-i3}{(2^2+3^2)}=\frac{2}{13}-i\frac{3}{13}$