Operazioni tra numeri complessi

Eccoci qua, come promesso, a parlare delle operazioni tra numeri complessi.

Iniziamo subito! 

1) CONIUGIO

¯ : 

z\mapsto \overline{z} { cioè porta z a z coniugato }

Tutto questo formalismo matematico, praticamente non vuole dire altro che:

Se abbiamo un numero nella forma

z=x+iy

allora il numero a lui coniugato sarà

\overline{z}=x-iy

ESEMPIO:

z=2+i3 \Rightarrow \overline{z}=2-i3

Area4

Questa bellissima operazione  ha anche delle proprietà altrettanto belle:

Proprietà del Coniugio:

1) Se faccio il coniugio due volte torno al punto di partenza

\overline{(\overline{z})}=z

Ciò che abbiamo appena fatto è, nell'ambito matematico, chiamata OPERAZIONE INVOLUTORIA ovvero che mi restituisce il valore iniziale.

2) Il coniugio della somma di due numeri complessi è uguale alla somma dei coniugi dei due numeri complessi

\overline{(z_1+z_2)}=\overline{z_1}+\overline{z_2}

3) Il coniugio del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei coniugi dei due numeri complessi

\overline{(z_1\cdot z_2)}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}

OSSERVAZIONE IMPORTANTE:

z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in R {\Leftrightarrow : se e soltanto se}


 

Dimostrazione:

z=x+iy=x-iy=\overline{z}\Leftrightarrow iy=-iy\Leftrightarrow y=0

Cioè:

z=x+i0


 

OSSERVAZIONE IMPORTANTE 2:

  • Cosa succede se faccio  z+\overline{z}?

z+\overline{z}= (x+iy)+(x-iy)=2x=2Re(z)

  • Cosa succede se faccio z-\overline{z}?

z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy=2iIm(z)

2) MODULO

|z|= Modulo di z

Se:

z=x+iy \rightarrow \left | z\right |=\sqrt{x^2+y^2}

|z| rappresenta la lunghezza del vettore ( infatti \sqrt{x^2+y^2} non è altro che il Teorema di Pitagora )

Proprietà del modulo:

1) Disuguaglianza triangolare

\left |z_1+z_2 \right | \leq \left | z_1\right |+\left | z_2\right |

Il modulo della somma di due numeri complessi è \leq del modulo dei due numeri sommati

2) Il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei numeri complessi

\left | z_1\cdot z_2\right |=\left | z_1\right |\cdot \left | z_2\right |

3) Collegamento modulo-coniugio

Corollario:

Cioè:

ESEMPIO di applicazione del corollario:

z=2+i3

z^{-1}=\frac{1}{2+i3}=\frac{2-i3}{(2^2+3^2)}=\frac{2}{13}-i\frac{3}{13}

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