Polinomi

In quest'articolo Brainyresort ti darà un piccolo accenno di cosa sono i polinomi e di alcune importanti definizioni, per poi passare alla spiegazione di come risolvere un polinomio complesso

Il polinomio è una scrittura formale.

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x+a_0$

Polinomio di grado n nella variabile x; dove $a_0...a_n$ sono i coefficienti

DEFINIZIONE DI RADICE

Una radice (numero che mi risolve l'equazione) di $p(x)$ è un numero $\alpha$ tale che $p(\alpha)=0$

Può accadere che per facilitare la risoluzione di un polinomio dobbiamo ricorrere a semplificarlo; per fare ciò ci serviamo della sua fattorizzazione ricorrendo al famoso:

Teorema di Ruffini

$\alpha$ è radice $\Leftrightarrow (x-\alpha)$ divide $p(x)$

DEFINIZIONE DI MOLTEPLICITA' ALGEBRICA DI UNA RADICE

$\alpha$ è una radice con molteplicità $k$ se:

$(x-\alpha)^{k}$ divide $p(x)$ , ma $(x-\alpha)^{k+1}$ non divide $p(x)$

Cosa c'entra tutto ciò appena detto con i numeri complessi?

Il problema che ha portato allo studio dei numeri complessi è insito in 2 domande:

1) Esiste sempre una radice?

2) Quante sono?

Esempio-risposta

$p(x)=x^{2}+2x+5$

RADICI: $\small \dpi{130} \frac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}=\left\{\begin{matrix}-1+i2 & \\ -1-i2 & \end{matrix}\right.$

Quindi, come potevamo aver già supposto dopo aver letto i precedenti articoli, nell'insieme $\mathbb{R}$ non sempre $\exists$ radici!

Ma...

In $\mathbb{C}$ SI!

Enunciamo adesso uno dei più importanti teoremi dell'algebra lineare!

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

$p(x)$ di grado $n \Rightarrow p(x)$ ha $n$ RADICI in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità)

COROLLARIO 1

Se $p(x) \in R [x]$ (polinomi con coefficienti in $\mathbb{R}$ nella variabile $x$ ), $\alpha \in C$ è radice di $p(x) \Leftrightarrow \overline{\alpha} \in C$ è RADICE di $p(x)$

Detto nel linguaggio di noi comuni mortali sarà :

Le soluzioni con un numero complesso vanno sempre a coppia (cioè le due radici dell'equazione sono una il coniugato dell'altra)

DIMOSTRAZIONE COROLLARIO 1:

Dimostrazione prima freccia $\dpi{150 } \Rightarrow$

Ipotesi:

$p(\alpha )=0$

Tesi:

$p(\overline{\alpha})=0$

Se $p(\alpha )=0\Rightarrow \overline{p(\alpha )}=\overline{0}=0$

Se $p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ allora

$p(\alpha )= a_n\alpha^n+...+a_1\alpha+a_0$

$\overline{p(\alpha )}=\overline{a_n\alpha ^n+...a_1\alpha +a_0}=\\ {\overline{a_n}\cdot (\overline{\alpha ^n})+...+\overline{a_1}\cdot \overline{\alpha }+\overline{a_0}}=a_n \cdot (\overline{\alpha })^n+...+a_1\cdot \overline{\alpha }+a_0=0$

Perchè:

$a_n =\overline{a_n}$ fino a

......

$a_0=\overline{a_0}$

essendo:

$a_n \in \mathbb{R}$ e

$\overline{(\alpha ^n)}=(\overline{\alpha })^n$

Dimostrazione seconda freccia $\Leftarrow$

Basta verificare che:

$\overline{(\overline{\alpha })}=\alpha$

ma sappiamo che è così per definizione, quindi abbiamo finito

COROLLARIO 2

Se $p(x) \in R[x]$ ha grado dispari allora:

$\exists$ radice REALE di $p(x)$

Osservazione/dimostrazione:

Le radici complesse vanno sempre a coppie, quindi nel caso in cui ne abbiamo un numero dispari, almeno una di loro è reale, non potendo essere in coppia con nessun'altra.

Conclusa tutta questa noiosa teoria passiamo, con il prossimo articolo, alla pratica!

Risolveremo i polinomi complessi!