Polinomi

In quest'articolo Brainyresort ti darà un piccolo accenno di cosa sono i polinomi e di alcune importanti definizioni, per poi passare alla spiegazione di come risolvere un polinomio complesso 

Il polinomio è una scrittura formale.

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x+a_0

Polinomio di grado n nella variabile x; dove a_0...a_n sono i coefficienti

DEFINIZIONE DI RADICE

Una radice (numero che mi risolve l'equazione) di p(x) è un numero \alpha tale che p(\alpha)=0

Può accadere che per facilitare la risoluzione di un polinomio dobbiamo ricorrere a semplificarlo; per fare ciò ci serviamo della sua fattorizzazione ricorrendo al famoso:

Teorema di Ruffini

\alpha è radice \Leftrightarrow (x-\alpha) divide p(x)

DEFINIZIONE DI MOLTEPLICITA' ALGEBRICA DI UNA RADICE

\alpha è una radice con molteplicità k se:

(x-\alpha)^{k} divide p(x), ma (x-\alpha)^{k+1} non divide p(x)

Cosa c'entra tutto ciò appena detto con i numeri complessi?

Il problema che ha portato allo studio dei numeri complessi è insito in 2 domande:

1) Esiste sempre una radice?

2) Quante sono? 

 

Esempio-risposta 

p(x)=x^{2}+2x+5

RADICI: 

Quindi, come potevamo aver già supposto dopo aver letto i precedenti articoli, nell'insieme  non sempre  radici!

Ma...

In  SI!

Enunciamo adesso uno dei più importanti teoremi dell'algebra lineare!

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

p(x) di grado  n \Rightarrow p(x) ha n RADICI in  (contate con molteplicità)

COROLLARIO 1 

Se p(x) \in R [x] (polinomi con coefficienti in  nella variabile x), \alpha \in C è radice di p(x) \Leftrightarrow \overline{\alpha} \in C è RADICE di p(x)

Detto nel linguaggio di noi comuni mortali sarà :

Le soluzioni con un numero complesso vanno sempre a coppia (cioè le due radici dell'equazione sono una il coniugato dell'altra)

Area


 

DIMOSTRAZIONE COROLLARIO 1:

Dimostrazione prima freccia 

Ipotesi:

p(\alpha )=0

Tesi:

p(\overline{\alpha})=0

Se p(\alpha )=0\Rightarrow \overline{p(\alpha )}=\overline{0}=0

Se p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0   allora

p(\alpha )= a_n\alpha^n+...+a_1\alpha+a_0

e

\overline{p(\alpha )}=\overline{a_n\alpha ^n+...a_1\alpha +a_0}=\\ {\overline{a_n}\cdot (\overline{\alpha ^n})+...+\overline{a_1}\cdot \overline{\alpha }+\overline{a_0}}=a_n \cdot (\overline{\alpha })^n+...+a_1\cdot \overline{\alpha }+a_0=0

Perchè:

a_n =\overline{a_n} fino a

......

a_0=\overline{a_0}

essendo:

a_n \in \mathbb{R} e

\overline{(\alpha ^n)}=(\overline{\alpha })^n

Dimostrazione seconda freccia \Leftarrow

Basta verificare che:

\overline{(\overline{\alpha })}=\alpha

ma sappiamo che è così per definizione, quindi abbiamo finito

COROLLARIO 2

Se p(x) \in R[x] ha grado dispari allora:

\exists radice REALE di p(x)

Osservazione/dimostrazione:

Le radici complesse vanno sempre a coppie, quindi nel caso in cui ne abbiamo un numero dispari, almeno una di loro è reale, non potendo essere in coppia con nessun'altra.

Conclusa tutta questa noiosa teoria passiamo, con il prossimo articolo, alla pratica! 

Risolveremo i polinomi complessi!

Facebooktwitterpinterestlinkedin