Polinomi

In quest'articolo Brainyresort ti darà un piccolo accenno di cosa sono i polinomi e di alcune importanti definizioni, per poi passare alla spiegazione di come risolvere un polinomio complesso 

Il polinomio è una scrittura formale.

Polinomio di grado n nella variabile x; dove  sono i coefficienti

DEFINIZIONE DI RADICE

Una radice (numero che mi risolve l'equazione) di  è un numero  tale che

Può accadere che per facilitare la risoluzione di un polinomio dobbiamo ricorrere a semplificarlo; per fare ciò ci serviamo della sua fattorizzazione ricorrendo al famoso:

Teorema di Ruffini

 è radice divide

DEFINIZIONE DI MOLTEPLICITA' ALGEBRICA DI UNA RADICE

 è una radice con molteplicità  se:

 divide , ma  non divide

Cosa c'entra tutto ciò appena detto con i numeri complessi?

Il problema che ha portato allo studio dei numeri complessi è insito in 2 domande:

1) Esiste sempre una radice?

2) Quante sono? 

 

Esempio-risposta 

RADICI: 

Quindi, come potevamo aver già supposto dopo aver letto i precedenti articoli, nell'insieme  non sempre  radici!

Ma...

In  SI!

Enunciamo adesso uno dei più importanti teoremi dell'algebra lineare!

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

 di grado  ha  RADICI in  (contate con molteplicità)

COROLLARIO 1 

Se  (polinomi con coefficienti in  nella variabile ),  è radice di  è RADICE di

Detto nel linguaggio di noi comuni mortali sarà :

Le soluzioni con un numero complesso vanno sempre a coppia (cioè le due radici dell'equazione sono una il coniugato dell'altra)

Area


 

DIMOSTRAZIONE COROLLARIO 1:

Dimostrazione prima freccia 

Ipotesi:

Tesi:

Se

Se   allora

e

Perchè:

fino a

......

essendo:

e

Dimostrazione seconda freccia

Basta verificare che:

ma sappiamo che è così per definizione, quindi abbiamo finito

COROLLARIO 2

Se  ha grado dispari allora:

radice REALE di

Osservazione/dimostrazione:

Le radici complesse vanno sempre a coppie, quindi nel caso in cui ne abbiamo un numero dispari, almeno una di loro è reale, non potendo essere in coppia con nessun'altra.

Conclusa tutta questa noiosa teoria passiamo, con il prossimo articolo, alla pratica! 

Risolveremo i polinomi complessi!

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