Risolvere un polinomio complesso (parte iniziale)

Grazie a quest'articolo imparerete sicuramente ad uscire vittoriosi dalle "guerre" per la risoluzione di polinomi complessi 

Iniziamo!

Come risolvere un polinomio complesso?

Prendiamo un generico polinomio:

con $w$ fissato e $z \in C$ come incongnita

avremo quindi che $Z^{n}=w \Leftrightarrow$ le radici di $p(z)=z^{n}-w$

Riprenderemo il procedimento vero e proprio di risoluzione di polinomi complessi nell'articolo che segue quello sul "Teorema di Moivre". Adesso introdurremo alcune nozioni importanti al fine di imparare tutto ciò che ci servirà per conseguire l'obbiettivo che ci stiamo dando 

Uno strumento molto utile, che ci consente di risolvere i polinomi complessi, è la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso (corrispondente alle coordinate polari).

Vediamo come funziona:

Coordinate polari

 

Possiamo procedere a definire alcune grandezze:

$P$ il punto del piano

$\theta$ è l'angolo tra il semiasse  e il segmento $\overline{OP}$

Quindi possiamo dire che il punto P è individuato dall'angolo $\theta$ e dalla lunghezza del segmento $\overline{OP}$

DEFINIZIONE

Se $\theta \in R$ allora

$e^{i\theta}= \cos{\theta}+ i\sin{\theta}$

Quindi:

$e^{i\theta}$: individua un numero complesso che sta sulla circonferenza di raggio 1, e di conseguenza ha un angolo $\theta$ con il semiasse ;

Come in figura :

Iniziamo a vedere dei semplici esempi dell'importante definizione appena scritta:

La definizione è: $e^{i\theta}= \cos{\theta}+ i\sin{\theta}$

Esempi:

$e^{i0}=\cos{0}+i\sin{0}=1+i0=1$

$e^{i(\pi/2)}=\cos{(\pi/2)}+i\sin{(\pi/2)}= 0+i1=i$

$e^{i(\pi)}=\cos{(\pi)}+i\sin{(\pi)}= -1+i0=-1$

$e^{i(\pi/4)}=\cos{(\pi/4)}+i\sin{(\pi/4)}= (\sqrt{2}/2)+i(\sqrt{2}/2)$

$e^{i(\pi/3)}=\cos{(\pi/3)}+i\sin{(\pi/3)}= 1/2+(i\sqrt{3}/2)$

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