Risolvere un polinomio complesso (parte finale)

Eccoci, di nuovo qua, a parlare della risoluzione dei famosi polinomi complessi. 

Gli articoli di mezzo, tra quest'articolo ed la sua prima parte, servono per acquisire particolari nozioni utili alla comprensione dell'argomento.

Iniziamo subito! 

Prendiamo il polinomio:

Avremo che:

• Se $w=0$ allora $z=0$ è l'unica soluzione
• Se $w\neq0$ scriveremo:
  $w=r \cdot e^{it}$ con $r$ e $t$ fissati;
  Quindi:
  $z^{n}=w \Leftrightarrow (\rho\cdot e^{i\theta})^{n}=r\cdot e^{it} \rightarrow \rho^{n} \cdot e^{in\theta}=r \cdot e^{it}$ dove $\rho$ e $\theta$ sono le nostre incognite.
  A questo punto per risolvere questa equazione procederemo col scrivere:
  Modulo=modulo e angolo= angolo+ $2k\pi$
  - 2 numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e angolo uguale all'angolo sommato a $2k\pi$

Osservazione

$\rho,r \in R^{+}$

1° equazione
$\rho^{n}=r \rightarrow \rho=\sqrt[n]{r}$
2° equazione

$n\theta=t+2k\pi, k \in Z \Rightarrow \theta=\frac{t+2k\pi}{n}$ con $k \in Z$

Conclusione

A questo punto diamo una "formula" generale per la risoluzione di polinomi di questo tipo:

Soluzioni distinte: 

con $k$ che va da 0 a $n-1$

$n$ soluzioni